samedi 17 juin 2017

DANS LA TETE DE CEDRIC VILLANI (avant qu'il soit député)


En 1896, dans les environs de Brunswick, une classe d’école s’affaire. Leur professeur vient de leur poser un problème particulièrement fastidieux et compliqué pour leur jeune âge : calculer la somme de tous les entiers naturels de 1 à 100.
Sûrement espérait-il avoir la paix un bout bon de temps grâce à cela !
Mais c’était sans compter sur le génie d’un de ses élèves, Carl Friedrich Gauss, âgé alors d’à peine 10 ans. Issu d’une famille pauvre des environs, il ne lui fallut que quelques secondes pour résoudre le problème. Son astuce ? Additionner par paire les termes extrêmes de la série : 1 + 100, 2 + 99 etc… Dont le résultat est toujours 101. Ainsi, multiplier 101 par 100 aboutit à additionner 2 fois la série demandée, et donc nécessite de diviser par 2 le résultat. On obtient bien à la fin, 5050.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
 
Repéré pour son talent, il put recevoir une bourse pour continuer ses études à l’université et il devint l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Entre autres, c’est lui (avec un de ses collègues, Legendre) qui énonça la règle des moindres carrés, qui est utilisée tous les jours dans les laboratoires scientifiques pour obtenir ce genre de belles courbes.
 

 

Il existe comme cela des personnes qui possède un sens inné pour les mathématiques. Loin d’être des calculateurs prodiges, leurs capacités de raisonnement sont uniques.
Au début du 19ème siècle, un pseudo-scientifique nommé Gall fonda une nouvelle discipline, la phrénologie, à travers laquelle il semblait être capable d’étudier les capacités cognitives de n’importe qui. Selon Gall, ces capacités cognitives sont réparties au niveau de la surface du cerveau, qui est plus ou moins volumineuse en fonction des aptitudes du sujet. L’excroissance cérébrale repousserait le crâne qui lui fait face, et il serait donc possible de déterminer les aptitudes cognitives d’un sujet en étudiant la forme de son crâne.

La phrénologie prétend pouvoir prédire les caractères et aptitudes
intellectuelles de chacun en analysant la forme de leur crâne.
 
Cette théorie ne repose bien évidemment sur aucun fondement scientifique. Mais elle introduisit dans le champ de la Science une donnée nouvelle et absolument essentielle : le cerveau est régionalisé en aires corticales, chacune spécialisée dans le traitement d’une information particulière.
Selon Gall, il existait donc une « bosse des maths » sur le crâne des individus particulièrement doués dans cette matière. Bien sûr, il n’y a pas plus de vérité scientifique dans cette affirmation que dans le reste de cette discipline fumeuse.
Cependant, nous pouvons nous demander d’où vient cette prodigieuse faculté pour les mathématiques, poussée à l’excellence chez les grands mathématiciens. Deux grandes théories s’opposent au sein de la communauté scientifique.
D’une part, certains scientifiques avancent que les capacités en mathématiques sont le prolongement de nos facultés linguistiques –plus précisément, elles en sont une abstraction. Et en effet, l’ensemble des opérations mathématiques sont caractérisées par une description propre –une somme, une division, une intégrale… Chaque équation mathématique peut être explicitée par une phrase.
De plus, on peut supposer que les capacités grammaticales et mathématiques reposent sur les mêmes processus cognitifs, car elles possèdent des propriétés proches. Il existe par exemple une grande similitude entre la structure syntaxique d’une phrase (« L’homme qui balade son chien qui est un labrador qui est une espèce très affectueuse ») et d’une expression mathématique (4x[2-6]x[2+3]).
Cependant, les mathématiciens eux-mêmes ne se reconnaissent pas dans ce mode de pensées. Albert Einstein disait d’ailleurs :
 
 
« Words and language, whether written or spoken, do not seem to play any part in my thought processes. »
 
 
 
D’autres scientifiques ont donc présupposé une théorie inverse, basant les aptitudes mathématiques sur une spécialisation de réseaux phylogénétiquement anciens –c’est-à-dire formés tôt dans le processus évolutif, et donc partagé entre humains et plusieurs autres espèces d’animaux. Nos aptitudes mathématiques reposeraient donc sur des idées intuitives d’espace, de dénombrement et de temps, sans lien avec le langage.
Nous possédons en effet des capacités intuitives de dénombrement, qui nous rendent capables de savoir combien de bonbons viennent de tomber par terre sans avoir besoin de les compter –pourvu qu’ils soient moins d’une dizaine.

 
Mais comment être sûr que le langage n’intervient pas (ou peu) dans nos raisonnements mathématiques ?
Encore une fois, les chercheurs ont tout à apprendre de leurs patients !
En 2005, le cas de 2 patients fut rapporté à ce propos. Ces deux hommes avaient été victimes d’un AVC quelques années plus tôt, détruisant une grande partie de leur hémisphère gauche. Ces lésions les avaient rendu aphasiques : ils étaient incapables (ou en tout cas très déficients) de langage. Ils étaient incapables de nommer une image qu’on leur présentait, ne pouvaient comprendre de longues phrases et avaient de gros déficits en grammaire.
Et pourtant, ils étaient tout à fait capables de résoudre des équations mathématiques relativement complexes.
De la même manière, ces patients ne pouvaient pas formuler ou reconnaître des structures causales dans une phrase (« … donc… »), alors que cela ne leur posait aucun problème dans un contexte mathématique.
Encore plus incroyable, ces patients étaient capables de manipuler les chiffres arabes, alors qu’ils étaient totalement incapables de lire le mot correspondant à ce même chiffre !
Il apparaît donc, en tout cas chez ces patients, que les aptitudes mathématiques sont totalement dissociées du langage. En bref, les parenthèses ne sont pas interprétées de la même façon par notre cerveau selon si elles sont placées dans une phrase ou dans une équation.
Cela ne veut pas nécessairement dire que le traitement syntaxique des phrases et des équations n’engage pas les mêmes processus cognitifs –qui seraient communs aux deux. Mais cela tend à dire que le traitement syntaxique d’une équation ne doit pas nécessairement passer par une analyse langagière.
Mais cette dichotomie entre mathématiques et langage n’est-elle pas un peu trop simpliste ? En particulier, existe-t-elle à tous les niveaux (du collégien à la médaille Fields) et pour tous les domaines des mathématiques ?
C’est pour répondre à ces questions que Stanislas Dehaene et son équipe étudièrent les cerveaux de personnes lambda et d’experts en mathématiques, appelés à résoudre différents problèmes.
Pour cela, il ordonna à ces personnes de résoudre les problèmes mathématiques qui leur étaient proposés… dans une IRM fonctionnelle –une machine d’imagerie permettant de détecter les activations cérébrales.
Sans grande surprise, les experts eurent de bien meilleurs résultats à ces énigmes que les personnes lambda. Et lorsque les questions portaient sur la culture générale, il n’existait pas de différence entre les 2 groupes. En revanche, les différences d’activation cérébrale entre eux sont surprenantes.
Lorsqu’un problème mathématique  est posé aux les mathématiciens, leur cerveau s’active au niveau de leurs lobes temporaux, pariétaux et pré-frontaux. Ce n’est pas surprenant car ces régions sont traditionnellement impliquées dans les raisonnements abstraits. De plus, les mêmes activations sont observées que les problèmes soit de l’algèbre, de la géométrie ou de la logique.
 

 

Au contraire, lorsque le problème posé est une question de culture générale, les zones impliquées dans le raisonnement mathématique s’éteignent alors que celles associées au langage (comme les aires de Wernicke et de Broca) s’activent.

 

On retrouve chez les mathématiciens la dissociation entre le langage et les mathématiques –toutes les mathématiques.
Par contre, chez les personnes lambda, les activations cérébrales sont différentes. Point d’activation des cortex temporaux et pariétaux devant un problème mathématique chez eux, alors que les aires du langage s’activent bien devant une question de culture générale.
Leur cerveau ne reconnaît pas le problème mathématique, ou ne sait pas le traiter. C’est l’explication avancée par les chercheurs : le problème mathématique est considéré comme un charabia incompréhensible par les non-initiés !
Les régions cérébrales impliquées dans le traitement du langage et dans la résolution de problèmes mathématiques semblent donc différentes.
Les mathématiques ne seraient donc pas liées au langage, et ne sont apparemment pas le prolongement de nos capacités linguistiques.
Cela pose une question cruciale pour l’enseignement de mathématiques dès le plus jeune âge. Souvenez-vous de votre apprentissage des tables de multiplication : il s’agit le plus souvent d’un apprentissage par cœur bête et méchant. Autrement dit, un apprentissage qui ne repose pas sur les fondements de nos capacités mathématiques : notre sens intuitif du nombre, de l’espace et du temps.
 


  
 
 

SOURCES :
- Amalric, M., & Dehaene, S. (2016). Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians. Proceedings of the National Academy of Sciences, 113(18), 4909-4917.
- Varley, R. A., Klessinger, N. J., Romanowski, C. A., & Siegal, M. (2005). Agrammatic but numerate. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 102(9), 3519-324.
- Compte rendu du livre: LA BOSSE DES MATHS par Stanislas Dehaene (Odile Jacob, 1997). Giuseppe Longo, ENS Paris

1 commentaire:

  1. Que le nombre sache dire des pensées sur le monde dont le langage est incapable - et réciproquement - voilà qui ne saurait étonner !
    Une discipline se frotte depuis plusieurs siècles à cette dualité : la philosophie.

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